Stochastik

Der Schwarze Schwan – Teil 2

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Okt 092011
 

Schwarze SchwäneDie Ausführungen zur Portfoliotheorie beendete ich mit dem Hinweis auf Nassim Taleb und sein Buch „Der Schwarze Schwan„. Er stellt darin die These auf, und belegt sie auch, daß die Sicht der Menschen auf Wahrscheinlichkeiten, und damit auf das sich ergebende Risiko, seltene Extremereignisse untergewichtet oder ignoriert.Taleb führt dafür zwei Gründe an: Unzureichende Vergangenheitsdaten und fehlerhafte Modelle über die zugrundeliegen Wahrscheinlichkeiten.

Unzureichende Vergangenheitsdaten

Das Problem der Vergangenheitsdaten lässt sich einfach erklären. Wenn man nicht weiß, wie häufig ein Ereignis auftreten wird, ist die einfachste Methode zu schauen, wie häufig es in der Vergangenheit aufgetrat, und von dieser Datenbasis aus zu extrapolieren. Bei sehr seltenen Extremereignissen kann es aber sein, daß sie in der Vergangenheit noch nie aufgetreten sind.

Taleb bringt als Beispiel einen Truthahn, der jahrelang täglich sein Futter bekommt und der aufgrund seiner Vergangenheitsdaten nicht den mindesten Grund hat zu zweifeln, daß er ein langes, einfaches Leben auf dem Bauernhof haben wird. Bis zu dem Tag, an dem er geschlachtet wird.

Aus Sicht des Truthahns ist seine gewaltsame Umwidmung zum Lebensmittel ein nicht vorhersehbares Extremereignis obwohl wir wissen, daß es mit nahezu 100% Wahrscheinlichkeit auftreten wird. Ähnlich verhält es sich nun mit schwersten Erdbeben, Globalen Vertrauenskrisen, Hyperinflationen, …. . Es heißt dann „unvorhersehbar“ und das sich daraus ergebende Risiko wurde nirgendwo berüclsichtigt.

Fehlerhafte Wahrscheinlichkeitsmodelle

Um dies zu erklären ist ein kleiner Ausflug in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Stochastik nötig.

Eine der beliebtesten Formeln der Stochastiker ist die Gaussverteilung. Ihre Beliebtheit zeigt auch ihr anderer Name: Normalverteilung. Die Gausverteilung gibt an, welche Wahrscheinlichkeiten zu erwarten sind, wenn viele, voneinander unabhängige, zufällige Ereignisse aufsummiert werden. Das Bild unten zeigt sie als Blaue Linie. Wahrscheinlichkeitsdichte von Gauss- und Pareto-verteilungWie man sieht knubbeln sich die wahrscheinlichsten Fälle um den Mittelwert der Gaussverteilung. Je weiter man sich vom Mittelwert entfernt, desto unwahrscheinlicher wird ein Ereignis. Viele werden die Gaussverteilung aus der Schule kennen. Sie wird gerne bei physikalischen Ereignissen verwendet, etwa (mehrere) Würfelwürfen, atomarem Zerfall, Messfehler bei zahlreichen Messungen, …. .

Das überaschende ist nur: Bei vielen Prozessen, in die Menschen verwickelt sind, gilt sie nicht. Beispiele sind die Wortverwendungshäufigkeiten, Größe von Städten, Wohlstandsverteilung, Buchverkaufszahlen, Bloglesezahlen,  … . Hier scheinen Extreme zu dominieren: Es gibt sehr viele, sehr kleine Objekte und wenige dafür sehr, sehr große. Mittendrin findet sich vergleichsweise wenig. Gründe hierfür sind häufig Skaleneffekte: Häufig gehörte Worte prägt man sich besser ein und verwendet sie selber häufiger, große Städte ziehen mehr Menschen an und wachsen schneller, Bücher bekannter Autoren verkaufen sich von selbst und werden beworben. Im Gegensatz zu den physikalischen Prozessen fehlt hier typischerweise die Unabhängigkeit der Ereignisse, so daß sich Extreme verstärken können.

Die Linie im Bild oben zeigt die Pareto-Verteilung, die sich verhält wie oben beschrieben. [Im Gegensatz zur Gausverteilung ist die Pareto-Verteilung einseitig, misst also die Wahrscheinlichkeit, daß etwas größer als erwartet ist. Darum gibt es im negativen Bereich keine rote Linie.] Die Wahrscheinlichkeit für sehr kleine Ereignisse nahe Null ist sehr groß. Dann kommt ein kleiner Bauch und für sehr große Ereignisse sehen Gaussverteilung und Pareto-Verteilung gleich aus. Dies ist aber inkorrekt, wie man auf der folgenden Ausschnitsvergrößerung sieht:Ausschnitt aus Dichtefunktionen der Gauss- und Pareto-VerteilungenDie durch die Gausverteilung gegebene Wahrscheinlichkeit fällt für sehr große Abweichungen viel schneller als die der Pareto-Verteilung (daß sich beide wieder annähern ist der liegt an der Skala der Y-Achse).Taleb spricht hier vom fehlenden „Gegenwind“ für Extremereignisse.

Was bedeutet das nun für eine Risikobewertung? Risiko ist normalerweise das Produkt aus Kosten eines Ereignisses und seiner Auftretenswahrscheinlichkeit. Die folgende Grafik zeigt die zu erwartenden Abweichungen und ihre Wahrscheinlichkeit für beide Verteilungen:

Wahrscheinlichkeitsdichte als Funktion der WahrscheinlichkeitWürde nun ein Investmentbanker mit obiger Gauss-Verteilung die  mit 0.001% Wahrscheinlichkeit zu erwartende Abweichung von seinem Finanzplan berechnen, so erhielte er ungefähr 4.5. Rechnet er jedoch mit der angegebenen Pareto-Verteilung, so ergäbe sich ca. 50. D.h. je nach verwendetem Wahrscheinlichkeitsmodell ergibt sich eine Abweichung des angenommenen Risikos um den Faktor 10. Nicht gerade gut, wenn man insgesamt nicht mehr als 1-2% Verlust machen darf.

 

Man könnte nun sagen: Nun gut, es gibt ein paar Probleme, aber inzwischen kennt die Finanzbranche sie und wird sie darum berücksichtigen. Dem widerspricht, daß der offizielle europäische Bankenstresstest der Dexia Bank Bestnoten ausstellte. Und zwar nur drei Monate bevor sie von Frankreich und Belgien (zum zweiten Mal) gerettet werden mußte.

Offensichtlich hat die Finanzbranche ihre Risikoberechnung nicht im Griff. Da hilft nur eins: Erzwungene Risikobegrenzung. Dazu demnächst mehr.

Der Schwarze Schwan

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Okt 082011
 
Der Schwarze Schwan

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